Kuinka paljon on korkeus?

[ElämänPeluri]

Parahin TeIte,

Kappaksen kysymys on vaivannut mieltäni kovin, koska olen löytänyt siitä erään huolestuttavan seikan. Haluaisin viimeinkin saada asian pois mielestäni. Toivottavasti osaat auttaa.

Kappaksen teoria ei ole pätevä, koska hän ei ota huomioon sitä seikkaa, että putoamiskiihtyvyys pienenee korkeuden funktiona. Kaavaa E=mgh voidaan käyttää kappaleen potentiaalienergian approksimaationa vain, jos korkeuden h suhde maapallon säteeseen R on riittävän pieni (h<<R).

Virheen korjaaminen johtaa kuitenkin huolestuttaviin tuloksiin. Kuten tiedämme, maapallo kohdistaa kappaleeseen vetovoiman, jonka suuruus saadaan Newtonin kuuluisasta gravitaatiolaista:

F(r) = GmM/r^2, missä

G = universaali gravitaatiovakio
m = kappaleen massa
M = maapallon massa
r = kappaleen etäisyys maapallon keskipisteestä

Merkitään maapallon sädettä R:llä. Kun kappaletta lasketaan etäisyydellä r differentiaalisen pieni matka dr, kappaleen tekemä työ dW saadaan kaavasta:

dW = F(r)dr

Eli kun kappale tuodaan äärettömän kaukaa korkeudelle h, siihen sitoutunut potentiaalienergia saadaan integroimalla edellinen kaava välillä (inf,R+h]. Nyt potentiaalienergiaksi korkeudella h saadaan (innokkaimmat pikkufyysikot tietysti tarkistavat tuloksen laskemalla integraalin itse):

E(h) = -GmM/(R+h)

Eli kun kappaletta siirretään maapallon pinnalta korkeuteen h, siihen varastoitunut potentiaalienergia E on:

E = E(h) - E(0) = -GmM/(R+h) - (-GmM/R) = GmM(1/R - 1/(R+h))

Nyt jos oletamme, että E = mc^2, saadaan

GmM(1/R - 1/(R+h)) = mc^2 =>
1/R - 1/(R+h) = c^2/(GM) =>
1/(R+h) = 1/R - c^2/(GM) =>
R+h = GMR/(GM - Rc^2) =>
h = R(GM/(GM - Rc^2) - 1)

Sijoitamme vakioihin niiden arvot:
G = 6.67*10^-11 Nm2kg-2
M = 5.98*10^24 kg
R = 6.37*10^6 m
c = 3*10^8 m/s

Kun livautamme luvut Matlabiin, saamme tulokseksi h = -6.37*10^-6 m = -6370 km

Eli korkeus on vakio, mutta se on negatiivinen ja sijaitsee maapallon keskipisteessä! Kuinka näin voi olla? Voiko mihinkään enää luottaa? Kestääkö Matin ja Mervin suhde?

--
"Hyvät ihmiset eivät osaa pitää asioitaan oikeilla raiteilla." -Daniil Harms

Edited by - ElämänPeluri on 07/11/2003 00:46:56